Olhando para a minha estante de livros, estou atingido por culpa: as histórias de Sherlock Holmes coletadas de Arthur Conan Doyle ficam intocadas há anos. Infelizmente, nunca passei pela fantástica adaptação televisiva estrelada por Benedict Cumberbatch para ler o material de origem. Mas, felizmente para Holmes, o detetive britânico tem seguidores em todo o mundo.
De fato, histórias sobre o engenhoso detetive e seu brilhante inimigo, o professor James Moriarty, apelou ao matemático John von Neumann e ao economista Oskar Morgenstern que desempenharam um papel na criação da teoria dos jogos no início do século XX. Essa disciplina matemática explora as estratégias para resolver vários problemas de tomada de decisão. Pegue o clássico “Problema do bolo”, que postula que a maneira mais justa de duas pessoas dividirem um bolo, de modo que cada um obtenha o máximo possível exige que uma pessoa tente cortar o bolo em dois pedaços iguais e o outro para selecionar uma fatia. Morgenstern e von Neumann não planejaram essa solução (ela é conhecida desde os tempos antigos), mas é uma boa ilustração de como os teóricos do jogo inventam estratégias ideais.
Os dois foram particularmente tomados por um cenário descrito por Doyle em seu conto “The Final Problem”, no qual Moriarty persegue Holmes a uma plataforma na estação de Victoria, em Londres. Lá, Moriarty vê Holmes pular em um trem para Dover. Moriarty não pode mais embarcar no trem. Portanto, ele contrata um único transporte de ferrovia motorizado em busca. O trem de Holmes não vai direto para Dover, no entanto, mas para em Canterbury a caminho. Então, Moriarty tem que tomar uma decisão: ele deveria parar em Canterbury, na esperança de que Holmes saia do trem para lá ou viaje até Dover? Holmes também deve pesar suas escolhas. De Dover, ele pode fugir para o continente europeu. Ele sabe que Moriarty pode esperar esse resultado e esperar por ele lá, porém, talvez Holmes deva sair do trem em Canterbury. Mas e se for exatamente isso que Moriarty quer que Holmes pense?
Sobre apoiar o jornalismo científico
Se você está gostando deste artigo, considere apoiar nosso jornalismo premiado por assinando. Ao comprar uma assinatura, você está ajudando a garantir o futuro das histórias impactantes sobre as descobertas e idéias que moldam nosso mundo hoje.
Esse cenário intrigou Morgenstern e Von Neumann, que finalmente chegaram à conclusão em seu livro fundamental de 1944 de que “Sherlock Holmes é tão bom quanto 48% quando seu trem sai da estação de Victoria”. Mas como eles poderiam colocar uma figura tão precisa nela? E como Holmes deve agir para escapar de seu adversário? Tudo isso pode ser respondido com a ajuda da teoria dos jogos.
Uma batalha de inteligência
A primeira coisa a considerar é que os Holmes e Moriarty inteligentes provavelmente adivinham o que o outro está pensando. (“Se ele pensa que acho que ele pensa …”) Essas considerações poderiam facilmente conseguir Holmes em um loop lógico sem fim, sem saída.
Holmes deve, portanto, assumir que Moriarty preverá sua decisão em ambos os casos e limitar os danos de acordo. Em outras palavras, o detetive deve otimizar sua decisão com as suposições mais pessimistas em mente. Essa estratégia foi publicada por von Neumann já em 1928 e foi usada para demonstrar que o lucro de um jogador pode ser maximizado se alguém assumir que o oponente de alguém pretende causar o maior dano possível.
Sem uma estratégia de vitória clara – quase como no problema do bolo – apenas o acaso pode ajudar. Considere jogos como o papel-tesouros: assim que um jogador escolher um padrão, o oponente pode explorá-lo para vencer. A melhor estratégia é, portanto, selecionar tesouras, rocha e papel igualmente, com uma probabilidade de um terço cada. Em média, ambas as partes devem vencer e perder igualmente, minimizando seus danos.
O caso de Holmes e Moriarty é um pouco mais complexo. Para entender esse ponto, ajuda a passar pelos vários cenários possíveis individualmente e ponderem -os usando números, como von Neumann e Morgenstern fizeram. Os dois matemáticos decidiram usar valores entre –100 e 100, com um alto valor simbolizando uma situação particularmente gratificante para uma determinada pessoa. Os valores numéricos exatos (conhecidos como pagamentos) escolhidos para cada situação são subjetivos, mas essa ponderação subjetiva pode ser usada para tomar uma decisão ideal do ponto de vista objetivo.
Morgenstern e Von Neumann determinaram que quatro situações diferentes poderiam ocorrer. Primeiro, Moriarty e Holmes poderiam viajar para Dover, onde Moriarty assassinaria o detetive. Para Moriarty, isso é ideal, por isso corresponde a uma recompensa de 100. Para Holmes, por outro lado, é um resultado desastroso de –100.
Segundo, Moriarty pode sair do trem em Canterbury, enquanto Holmes viaja para Dover. Isso é uma má notícia para Moriarty porque Holmes poderia fugir para o continente europeu, tornando ainda mais difícil pegá -lo. Essa situação é, portanto, ponderada em –50 para Moriarty. Para Holmes, por outro lado, é um resultado positivo, então Von Neumann e Morgenstern dão um valor de 50.
No terceiro cenário, Moriarty viaja para Dover, mas Holmes já desembarcou em Canterbury. Isso é ruim para Moriarty, mas pelo menos melhor do que o caso descrito acima. A situação pode, portanto, ser ponderada 0 para ele; O mesmo se aplica a Holmes, que ainda está preso na Inglaterra.
No caso final, Moriarty e Holmes desembarcam em Canterbury. Isso seria o ideal para Moriarty, um claro 100, e significaria a morte de Holmes, cujo retorno é –100.
Cada pessoa pretende maximizar sua recompensa. Sem uma decisão clara, no entanto, Holmes e Moriarty devem confiar no acaso. Aqui as coisas ficam mais interessantes. Por exemplo, cada um deles poderia virar uma moeda para decidir se saíram em Canterbury ou Dover. Se Moriarty parar em Canterbury, o valor esperado do retorno de Holmes é: 0,5 × 50 – 0,5 × 100 = –25. Se, por outro lado, Holmes sair do trem em Canterbury, o valor esperado para Holmes for –0,5 × 100 + 0,5 × 0 = –50. No total, o retorno esperado de Holmes é, portanto, –0,5 × 25 – 0,5 × 50 = –37,5. Os pagamentos de Moriarty têm a mesma magnitude, mas o sinal oposto.
Pior ainda: em um cenário em que a decisão deles depende de uma moeda, Holmes morre com uma probabilidade de 50 %. Isso ocorre porque Moriarty assassinará o detetive se os dois homens sairem no mesmo lugar, o que tem uma probabilidade de 0,5 em cada cenário. Isso resulta em uma probabilidade de morte de 0,5 × 0,5 + 0,5 × 0,5 = 50 %.
Brincando com probabilidades
Holmes tem chances estatisticamente melhores se ele seguir uma distribuição de probabilidade diferente – se, por exemplo, ele vira uma moeda que pousará em cabeças ou caudas de maneira desigual. Vamos supor que Holmes escolha Dover com uma probabilidade de p e que Moriarty faz isso com uma probabilidade de q (correspondentemente, os dois jogadores viajam para Canterbury com uma probabilidade de 1 – p e 1 – q, respectivamente). Se Moriarty viajar para Dover, o retorno esperado de Holmes é: –100 × p + 0 x (1 – p) = –100p. Se, por outro lado, Moriarty sair em Canterbury, o retorno de Holmes for: 50 × p – 100 x (1 – p) = 150p – 100.
No primeiro caso (se Moriarty viajar para Dover), a recompensa de Holmes diminui como p aumenta; No segundo, aumenta. Para se preparar para a pior situação, Holmes deve, portanto, escolher o p para os quais os pagamentos são iguais – indefinidos da decisão de Moriarty. Para fazer isso, ambos os valores esperados devem ser iguais: 150p – 100 = –100p. Se você resolver a equação para p, você obtém o valor 0.4. Isso significa que Holmes deve viajar para Dover com uma probabilidade de 40 % e deixar o trem em Canterbury com uma probabilidade de 60 %.
Aliás, o mesmo raciocínio se aplica a Moriarty, apenas ao contrário. Se você realizar o cálculo da mesma maneira, acaba com q = 0,6; Isso significa que Moriarty deve viajar para Dover com uma probabilidade de 60 %. A chance geral de sobrevivência de Holmes nesse cenário é, portanto, (probabilidade de Holmes estar em Dover) × (a probabilidade de que Moriarty esteja em Canterbury) + (a probabilidade de Holmes estar em Canterbury) × (probabilidade de que a morarty seja em dover) = 52 %, ligeiramente mais alto que se ambos tivessem uma moeda.
Dessa forma, von Neumann e Morgenstern quebraram o dilema que Holmes enfrentou, pelo menos do ponto de vista matemático. Mas o que acontece no conto?
Holmes e Moriarty não têm uma moeda equipada nem um gerador de números aleatórios com eles. No entanto, eles seguem as leis da teoria dos jogos. Holmes sai do trem em Canterbury e observa enquanto Moriarty viaja alegremente em direção a Dover em sua única carruagem, sem saber que Holmes o evitou.
O fato de Doyle optar por esta versão é mais notável quando você considera que a teoria dos jogos ainda não existia, e ele não sabia que essa era uma solução ideal. Pode ter sido coincidência – ou ele pode ter tido bons instintos. De qualquer forma, lembro -me de dar outra olhada em sua escrita em breve.
Este artigo apareceu originalmente em Spektrum der Wissenschaft e foi reproduzido com permissão.